己知：a,b,c都是奇数，求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解。- [5 |% i8 |3 x4 X% d, p* Y

7 R, ]8 ~& y- P- ?
1 h* r. p" V' c+ C6 V: Z

天天练.jpg (24.85 KB)

2008-7-11 09:23

答案
) `# F( f7 K# }& f0 e, S证明：设方程的有整数解x，
$ o/ X% H' z! g5 a9 j ' |; U# r/ Q0 l2 Y
若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，# N4 e1 H4 h$ {8 t
; u0 z; l- e0 a% V6 c# M3 }" T
而右边0是偶数，故不能成立；, {1 h) b* W5 X" d2 a# `0 L, u4 ^- t

% \7 |" Z- ]# Q3 T
7 X9 b+ `0 [& Y! h, u5 a) n若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，
5 O/ X% ?1 `9 h9 N. |( v
, B, e7 q) q8 t! K4 N/ o; m/ J. j. H4 {9 z! {* i' W, h
所以左边仍然是奇数，不可能等于0。1 M# |! M9 K, n% ?0 z2 b( P8 c; Z% P
/ f! O9 b2 ^5 E8 _0 G# _, X- r
: o5 ~( ]" z) A2 A8 t: U7 V0 c/ F
既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，- ~9 x1 S0 \' R
: a, n! P9 w% r3 x& q

0 B7 i  u5 T0 L6 n4 i∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法)

X1*x2=c/a$ R) m% O* F% T" V
x1+x2=-b/a
9 D1 t4 E7 P6 i6 ]a,b,c都为奇数c/a，-b/a也应为奇数9 X4 o! `3 }! L- t/ [
两数积为奇数两个数必都为奇数2 \0 f& V! u; U; z
那么x1+x2应为偶数推出矛盾